Na odomknutie dverí nájdite a zadajte najväčšie číslo, pre ktoré platí, že: 
- Každá cifra sa v ňom nachádza najviac \(2\)-krát,
- súčin každých dvoch cifier je nepárny,
- súčet všetkých cifier je nepárny,
- dve rovnaké cifry sa nenachádzajú vedľa seba.

Miestnosť mala tvar pravidelného šesťuholníka \(ABCDEF\) a v nej sa nachádzal koberec tvaru štvoruholníka \(ADEF\).
Určte veľkosť uhla \(AXF\), ak je bod \(X\) priesečník uhlopriečok v štvoruholníkovom koberci \(ADEF\).

S touto úlohou vám môže pomôcť edukačné okienko.

Tabuľka je rozdelená na rôzne veľké políčka, ktorých strany majú celočíselné dĺžky.
Čísla uvedené v políčkách predstavujú ich obsah.
Určte obsah prázdnych políčok. 

Veľkosti políčok v obrázku sú len orientačné.

\(7\) ingrediencii -- Aprénium, Buďnocium, Cemspacium, Denebudium, Energium, Fujdenium a Goodnightium -- idú do kotla v nejakom poradí. Platí, že:
- Buďnocium aj Cemspacium idú po Denebudiu
- počet ingrediencii medzi Goodnightiom a Cemspaciom je o jedno menší ako dvojnásobok počtu medzi Fujdeniom a Buďnociom
- počet ingrendiencii vhodených pred Apréniom by sa vedel medzi sebou zoradiť šiestimi rôznymi spôsobmi
- počet ingrendiencii, ktorý ide do kotla pred Energiom, je polovičný v porovnaní s počtom tých, ktoré idú po ňom
Zistite, v akom poradí treba ingrediencie dať do kotla a ukážte, že žiadne iné správne poradie neexistuje.  

Tímy Ahojnia, Budespacko, Caronocko a Dobruria hrali každý s každým práve raz v futbalovom turnaji. V tabuľke nižšie vidíme súhrnné informácie o výsledkoch zápasov. Práve jedno číslo v stĺpci strelené góly je však chybné. Zistite, aké bolo skóre jednotlivých zápasov a vysvetlite, prečo to inak nemohlo byť. 





Výhry
Remízy
Prehry
Strelené góly
Inkasované góly




Ahojnia
\(3\)
\(0\)
\(0\)
\(6\)
\(0\)


Budespacko
\(0\)
\(2\)
\(1\)
\(3\)
\(6\)


Caronocko
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(4\)
\(4\)


Dobruria
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(0\)
\(2\)




Na stole sú poháre s množstvom elixíru \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) a \(6\).
Štyri si v každom kroku vyberie ľubovoľné dva poháre na stole, vyleje ich a namiesto toho do nového pohára naleje množstvo elixíru rovné rozdielu predchádzajúcich množstiev.
Tento proces opakuje, až dokým na stole nezostane už len jeden pohár.

1. Určte, či môže byť na stole len prázdny pohár (množstvo elixíru je  \(0\)).
2. Určte, aké najväčšie množstvo elixíru môže ostať v poslednom pohári, uveďte aj postup prelievania a prečo nemôže byť väčšie.

UPJS

5. ročník ZŠ

Súkromná základná škola Lermontovova

6. ročník ZŠ | Príma

Gymnázium Grösslingová 18

4. ročník ZŠ

Súkromná zakladná škola Bajkalská 20

3. ročník ZŠ

Institut Saint-André

Village School

Základná škola Park Angelinum 8

Základná škola Krosnianska 4

Súkromná základná škola Znievska 2

ZŠ Park Angelinum 8

Schule Schmitten

Súkromná základná škola Felix Krásnohorská

ZŠ s MŠ Jána Amosa Komenského

Základná škola Obchodná

Základná škola Krosnianska 2

Škola pre mimoriadne nadané deti a gymnázium Teplická 7

Súkromná základná škola a súkromné gymnázium CENADA

CZŠ R. Zaymusa

Základní škola Na Balabence

Základná škola Polianska 1

Gymnázium Ľudovíta Štúra Zvolen

Základná škola Zlatá 2

Základná škola Levočská 11

Základná škola s materskou školou Hôrky

ZŠ s MŠ Vývojová 228

Základná škola Laca Novomeského

Základná škola s materskou školou Brusno

Gymnázium Alejová 1

Základná škola s materskou školou M. Hamuljaka

Škola pre mimoriadne nadané deti a gymnázium Skalická 1

Základná škola Komenského 6, Stará Ľubovňa

2. ročník ZŠ

Základná škola Juh 1054

Cirkevná spojená škola Okružná 25

Poradie