Kopy vybral päť deliteľov čísla $6^{2027}$. Dokážte, že Oliver vie z nich vybrať dva, ktorých súčin je druhou mocninou celého čísla.

Iľo napísal na tabuľu reálne číslo. Potom postupne ku každému číslu $x$ na tabuli napísal čísla $1-x$ a $\dfrac{1}{x}$, pokiaľ sú definované a ešte na tabuli neboli napísané. Skončil, keď už nebolo možné napísať žiadne nové číslo. Koľko čísel mohlo byť na konci na tabuli? Určte všetky možnosti.

V rovine je daných $220$ priamok vo všeobecnej polohe (teda takých, že žiadne tri neprechádzajú tým istým bodom a žiadne dve nie sú rovnobežné). Tieto priamky rozdelia rovinu na oblasti. Vzdialenosť medzi dvoma oblasťami definujeme ako najmenší počet priamok, ktorý musíme prekročiť, aby sme sa dostali z jednej oblasti do druhej (cez priesečníky sa nedá prechádzať). Oblasť nazveme *zvedavou*, ak jej vzdialenosť od každej inej oblasti je menšia ako $220$. Určte všetky možné počty *zvedavých* oblastí.

Evka na tabuľu napísala červenou fixkou $100$ rôznych kladných celých čísel. Potom pod každé číslo napísala zelenou fixkou to isté číslo, ale zväčšené o najväčšieho spoločného deliteľa zvyšných $99$ červených čísel. Určte, koľko najviac rovnakých zelených čísel mohla Evka napísať.

Dokážte, že ak funkcia $f: \mathbb{Z^+} \rightarrow \mathbb{Z^+}$ spĺňa nasledujúce dve podmienky, potom je $f$ ohraničená zhora, teda existuje číslo, ktoré nepresiahne žiadna hodnota funkcie $f$.

+ Pre ľubovoľné kladné celé číslo $n$ platí, že $f(n)$ delí $n+2026$.
+ Pre ľubovoľné kladné celé čísla $a>b$ platí, že $f(a)$ delí $f(ab)$.

Nech $ABC$ je trojuholník s $|\angle BAC |=120\text{\textdegree}$ a $|\angle ABC|=40\text{\textdegree}$. Ďalej $I$ je stred kružnice vpísanej trojuholníku $ABC$. Priesečník priamok $AI$ a $BC$ označme $D$ a priesečník $BI$ s $AC$ označme $E$. Bod $N$ je taký, že $|NE|=|ND|$ a $|\angle END|=120\text{\textdegree}$, pričom $N$&nbsp;a $A$ ležia v opačných polrovinách určených priamkou $DE$. Nech $\omega$ je kružnica so stredom $N$&nbsp;a polomerom $|ND|$. Dotykové body dotyčníc vedených z bodu $B$ na kružnicu $\omega$ označme $P$ a $Q$. Dokážte, že priamky $PQ$, $DE$ a&nbsp;$CI$ sa pretínajú v&nbsp;jednom bode.

Dôvera

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Wincent

4. ročník SŠ | Oktáva | 5. ročník 5-ročného gymnázia

Gymnázium

1. ročník SŠ | Kvinta | 2. ročník 5-ročného gymnázia

3. ročník SŠ | Septima | 4. ročník 5-ročného gymnázia

Gymnázium Jána Adama Raymana

2. ročník SŠ | Sexta | 3. ročník 5-ročného gymnázia

Evanjelické gymnázium Jána Ámosa Komenského

Stredná priemyselná škola technická

Bilingválne gymnázium Milana Hodžu

Súkromné gymnázium FUTURUM

Spojená škola

Gymnázium Hansa Selyeho s vjm - Selye János Gimnázium

Gymnázium Jiřího Gutha-Jarkovského

Gymnázium sv. Edity Steinovej

Iná škola

9. ročník ZŠ | Kvarta | 1. ročník 5-ročného gymnázia

Gymnázium ako organizačná zložka Spojenej školy

Gymnázium Jána Papánka

Gymnázium Františka Víťazoslava Sasinka

8. ročník ZŠ | Tercia

Malostranské gymnázium

51. ročník - zimný semester