Zadania

Ratiotos má zlomok v základnom tvare $\frac{x}{y}$, ktorý vie zapísať tiež v tvare $\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}$, kde $n$ je kladné celé číslo, pričom platí, že $x+y=2025$. Aká je hodnota $x$?

Chordilikus si nakreslil trojuholník $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$. Body $D$ a $Z$ ležia na strane $AB$ tak, že $CD$ je kolmé na $AB$ a $|AC|=|AZ|$. Polpriamka, ktorá rozdeľuje uhol $BAC$ na polovicu, pretína stranu $CB$ v bode $X$ a úsečku $CZ$ v bode $Y$. Dokážte, že štvoruholník $BXYD$ je tetivový. Tetivový štvoruholník je taký štvoruholník, ktorému sa dá opísať kružnica, čo je práve vtedy, keď súčet protiľahlých uhlov je $180^{\circ }$.

Gréci postavili chrám tvaru kocky $1000\times 1000\times 1000$. Každá z jeho šiestich stien je úplne pokrytá štvorcovými kachličkami $1\times 1$. Architektos chce umiestniť do chrámu stĺpy tvaru hranola $1\times 1\times 1000$ tak, aby spĺňali nasledovné podmienky:

Aký je najmenší kladný počet stĺpov, ktorý vie Architektos umiestniť do chrámu?

Okolo okrúhleho stola je rovnomerne rozmiestnených $2n$ Grékov, pričom $n$ z nich sú filozofi a $n$ sú vojaci. Filolistus si zapísal vzdialenosti medzi každou dvojicou filozofov do zoznamu, od najkratšej po najdlhšiu. Vojalistus si zapísal vzdialenosti medzi každou dvojicou vojakov do iného zoznamu, tiež od najkratšej po najdlhšiu. Rovnaká vzdialenosť sa môže v zozname vyskytovať viackrát. Dokážte, že Filolistov a Vojalistov zoznam sú rovnaké.

Podzemná vinica má tvar štvoruholníka $VINO$, v ktorom strany $VI$, $IN$ a $NO$ sú zhodné a veľkosti uhlov $VIN$ a $INO$ sú postupne $85^{\circ }$ a $155^{\circ }$. Aká je veľkosť uhla $IVO$?

Series má postupnosť takú, že $a_n=\frac{x_1^n-x_2^n}{x_1-x_2}$ pre všetky kladné celé $n$, kde $x_1$ a $x_2$ sú koreňmi rovnice $x^2-x-1=0$. Nájdite všetky kladné celé čísla $k$ a $l$, $k<l$, pre ktoré platí, že $l$ delí $a_n-2n\cdot k^n$ pre všetky kladné celé čísla $n$.