Majme ostrouhlý trojuholník \(ABC\) s najdlhšou stranou \(AC\). Zostrojte na tejto strane bod \(D\) taký, že os uhla \(ADB\) bude rovnobežná so stranou \(BC\). Svoju konštrukciu popíšte a zdôvodnite jej korektnosť.

Martin a Robka hrajú hru v tabuľke \(1\times{2025}\). Martin si najprv na papier napíše niekoľko kladných celých čísel. Robka vloží mincu do jedného z políčok. V každom ťahu si Martin vyberie číslo, ktoré má napísané na papieri - o toľko políčok sa pokúsi Robka posunúť mincu buď doľava, alebo doprava (podľa svojho rozhodnutia, ale ak je možné mincu presunúť, presunie ju, inak ostáva na nezmenenej pozícii). Koľko najmenej čísel si Martin musí napísať na papier, aby vedel zaistiť, že minca navštívi všetky políčka bez ohľadu na to, akým spôsobom hrá Robka?

Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla \(n\) platí, že počet deliteľov čísla \(n\) končiacich cifrou \(1\) alebo \(9\) je rovnaký alebo väčší ako počet deliteľov čísla \(n\) končiacich cifrou \(3\) alebo \(7\).

Pre každé kladné celé číslo \(k\) väčšie ako \(1\) nech \(p(k)\) je najväčší prvočíselný deliteľ čísla \(k\). Dokážte, že existuje nekonečne veľa celých čísel \(n\) väčších ako \(2\) takých, že
\[
\bigl(p(n+1)-p(n)\bigr)\bigl(p(n)-p(n-1)\bigr)>0.
\]

Nech \(k\) je pevná kružnica so stredom \(S\) a polomerom \(r\). Nech \(B\) a \(C\) sú dva rôzne pevné body na \(k\). Nech \(A\) je pohyblivý bod na \(k\), odlišný od \(B\) a \(C\). Nech \(P\) je bod taký, že stred úsečky \(SP\) je \(A\). Priamka prechádzajúca bodom \(S\) a rovnobežná s priamkou \(AB\) pretína priamku prechádzajúcu bodom \(P\) a rovnobežnú s priamkou \(AC\) v bode \(D\).

1. Dokážte, že keď sa bod \(A\) pohybuje po kružnici \(k\) (okrem bodov \(B\) a \(C\)), bod \(D\) leží na pevnej kružnici, ktorej polomer je väčší alebo rovný \(r\).
2. Dokážte, že rovnosť v časti a. nastane práve vtedy, keď je úsečka \(BC\) priemerom kružnice \(k\).


Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla \(x < y\) platí
\[\frac{y^y}{x^x(y-x)^{(y-x)}} > \frac{y!}{x!(y-x)!} > \frac{y^y}{x^x(y-x)^{(y-x)}(y+1)}.\]

UPJS

4. ročník SŠ | Oktáva | 5. ročník 5-ročného gymnázia

Poradie