Ovčie ohrady sú v tvare dvoch rovnakých štvorcov s jedným spoločným vrcholom. Aký je súčet vyznačených uhlov?

Paša pre ovce je štvorčeková mriežka v tvare obdĺžnika. Ovce sú v štvorčekovej mriežke umiestnené tak, že v každom štvorčeku sa nachádza najviac jedna ovca. Všetky riadky majú navzájom rôzny počet oviec a taktiež všetky stĺpce majú navzájom rôzny počet oviec. Strany paše môžu mať rovnakú dĺžku. Koľko rôznych takýchto ohrád existuje, ak obe strany ohrady majú dĺžku aspoň \(10\) a najviac \(20\)? 

*Pozn.: Pašu s 10 riadkami a  20 stĺpcami považujeme za inú než pašu s 20 riadkami a 10 stĺpcami.*

Maťo sa rozhodol, že sa zúčastní turnaja v pití žinčice, ktorý prebieha tak, že každý bača hrá presne raz proti každému inému bačovi. Po skončení turnaja sú bačovia zoradení na základe počtu získaných bodov, ktoré sa prideľujú nasledovne: \(3\) body za víťazstvo, \(1\) bod za remízu a \(0\) bodov za prehru. Je možné, že každý (okrem posledného) má presne o \(2\) body viac ako bača umiestnený za ním, ak sa turnaja zúčastní:

1. šesť bačov,
2. päť bačov?

Bačovia Maťo, Mišo a Rišo vyryli do stola druhé mocniny: \(1\), \(4\), \(9\) \(\dots\) \(2025\), spočítali ich súčet a zistili, že je deliteľný číslom \(3\). Potom sa dohodli, že si zahrajú nasledujúcu hru: v každom kole Maťo vyškrtne jedno číslo, potom Mišo a potom Rišo. Toto bude pokračovať, pokým nevyškrtnú všetky čísla. Rišovým cieľom je dosiahnuť, aby súčet nevyškrtnutých čísel na konci každého kola bol deliteľný \(3\). Ukážte, že:

1. Maťo nevie zabrániť Rišovi v dosiahnutí svojho cieľa, ak Mišo Rišovi pomáha,
2. Mišo vie zastaviť Riša v dosiahnutí svojho cieľa aj v prípade, že Maťo pomáha Rišovi. 

*Pozn.: To, že niekto pomáha Rišovi, znamená, že ten človek chce, aby Rišo splnil svoj cieľ.*

Rišo sa rozhodol ozdobiť kruhovú koziu ohradu tak, že okolo nej napíše čísla. Pre jedinečnosť si ale stanovil dve podmienky:

* ak sú dve čísla v kruhu susedné, potom jedno je násobkom druhého,
* ak dve čísla nie sú susedné, tak potom ani jedno nie je násobkom toho druhého.

Mohol takto napísať čísla, ak ich napísal
1.  \(2026\),
2. \(2025\)?

Na Mišovom klobúku v tvare trojuholníka \(ABC\) je na strane \(AB\) vyznačený bod \(D\) (rôzny od \(A\) a \(B\)). Bod  \(M\) je stred strany \(BC\). Vieme, že \(2\cdot |AM| = |CD|\). Je trojuholník \(ABC\) ostrouhlý, pravouhlý alebo tupouhlý? Dokážte.

Poradie