2. séria

Herkules a Poarot majú v byte loptičky s číslami od $1$ po $20$, každá loptička má na sebe práve jedno číslo. Chceli ich rozdeliť do $2$ rovnako veľkých skupín tak, aby sa v skupinke nenachádzala loptička so súčtom čísel dvoch rôznych iných loptičiek z tej istej skupinky. Môže sa im to podariť? Ak áno, uveďte príklad, ak nie, vysvetlite prečo.

Poarova kuchyňa má tvar trojuholníka $ABC$, v ktorom $K$ je päta výšky vedená z bodu $C$ na priamku $AB$. Herkules vyznačil bod $P$ na úsečke $CK$ (iný ako $C$ a $K$), stred úsečky $AP$ ako bod $E$, stred úsečky $BP$ ako bod $F$, stred úsečky $BC$ ako bod $G$ a stred úsečky $AC$ ako bod $H$. Dokážte, že kuchynská linka tvaru štvoruholníka $EFGH$ je obdĺžnik.

Herkules a Poarot kachličkujú kúpeľňu tvaru mriežky $8\times 8$ políčok, v ktorej sú postupne po riadkoch vpísané čísla od $1$ do $64$. Herkules chcel do kúpeľne umiestniť 10 kachličiek v tvare trimín rovnakého typu tak, aby súčet nepokrytých čísel bol deliteľný $3$. Vie to urobiť, ak

a. má k dispozícii triminá typu L,

b. má k dispozícii triminá typu I?

Triminá vieme v oboch prípadoch ľubovoľne otáčať.

Herkulovi sa sníval sen, v ktorom sa snaží poraziť mocnú hydru. Môže spraviť jeden z nasledujúcich útokov:

a. Vie Herkules hydre postupne zoťať všetky hlavy, ak ich má na začiatku $2026$? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

b. Vie Herkules hydre postupne zoťať všetky hlavy, ak ich má na začiatku $2027$? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

Poarovo čarovné pravítko vie robiť nasledujúce veci:

Poarot si zázračným pravítkom narysoval rovnobežník $ABCD$, potom našiel na strane $CD$ jej stred $M$. Úsečku $BC$ predĺžil na priamku a preniesol vzdialenosť $BC$ na túto priamku tak, aby na polpriamke $CB$ vznikol nový bod $N$ taký, že $|NB|=|CB|$. Herkules mu ale gumou vymazal všetko okrem bodov $A$, $M$ a $N$. Ako vie Poarot nanovo narysovať rovnobežník $ABCD$, ak pozná len tieto tri body? Postup popíšte a dokážte, že pôjde o pôvodný rovnobežník.

Herkules a Poarot prišli na ostrov, kde žilo $50$ detektívov. Všetci detektívi stáli v kruhu a každý z nich najprv oznámil vek svojho ľavého suseda, potom vek svojho pravého suseda. Každý detektív buď správne uviedol obe čísla, alebo jedno z čísel zväčšil o $1$ a druhé zmenšil o $1$ (podľa vlastného výberu). Je vždy možné určiť, ktorí z detektívov určili oba veky správne a ktorí nie? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?