Zadania

Ovčie ohrady sú v tvare dvoch rovnakých štvorcov s jedným spoločným vrcholom. Aký je súčet vyznačených uhlov?

Paša pre ovce je štvorčeková mriežka v tvare obdĺžnika. Ovce sú v štvorčekovej mriežke umiestnené tak, že v každom štvorčeku sa nachádza najviac jedna ovca. Všetky riadky majú navzájom rôzny počet oviec a taktiež všetky stĺpce majú navzájom rôzny počet oviec. Strany paše môžu mať rovnakú dĺžku. Koľko rôznych takýchto ohrád existuje, ak obe strany ohrady majú dĺžku aspoň $10$ a najviac $20$?

Maťo sa rozhodol, že sa zúčastní turnaja v pití žinčice, ktorý prebieha tak, že každý bača hrá presne raz proti každému inému bačovi. Po skončení turnaja sú bačovia zoradení na základe počtu získaných bodov, ktoré sa prideľujú nasledovne: $3$ body za víťazstvo, $1$ bod za remízu a $0$ bodov za prehru. Je možné, že každý (okrem posledného) má presne o $2$ body viac ako bača umiestnený za ním, ak sa turnaja zúčastní:

Bačovia Maťo, Mišo a Rišo vyryli do stola druhé mocniny: $1$, $4$, $9$ $\dots$ $2025$, spočítali ich súčet a zistili, že je deliteľný číslom $3$. Potom sa dohodli, že si zahrajú nasledujúcu hru: v každom kole Maťo vyškrtne jedno číslo, potom Mišo a potom Rišo. Toto bude pokračovať, pokým nevyškrtnú všetky čísla. Rišovým cieľom je dosiahnuť, aby súčet nevyškrtnutých čísel na konci každého kola bol deliteľný $3$. Ukážte, že:

Rišo sa rozhodol ozdobiť kruhovú koziu ohradu tak, že okolo nej napíše čísla. Pre jedinečnosť si ale stanovil dve podmienky:

Mohol takto napísať čísla, ak ich napísal

Na Mišovom klobúku v tvare trojuholníka $ABC$ je na strane $AB$ vyznačený bod $D$ (rôzny od $A$ a $B$). Bod $M$ je stred strany $BC$. Vieme, že $2\cdot |AM| = |CD|$. Je trojuholník $ABC$ ostrouhlý, pravouhlý alebo tupouhlý? Dokážte.