Pre každé celé číslo $n$ od $1$ do $100$ vrátane si na papier napíšeme najmenšie číslo, ktoré má práve $n$ deliteľov. Koľko z týchto čísel bude deliteľných troma?

Nech $P$ je konečná množina bodov v rovine, nie nutne vo všeobecnej polohe (t.j. môže sa stať, že na priamke leží tri a viac bodov). Predpokladajme, že množina $P$ spĺňa to, že v konvexnom obale každých piatich bodov (konvexný obal je najmenší konvexný útvar obsahujúci dané body), ale nie na jeho hranici, leží aspoň jeden ďalší bod. Dokážte, že potom každý konvexný päťuholník $Q$ určený bodmi z $P$ obsahuje aspoň jeden bod z $P$ vo vnútornom päťuholníku určenom uhlopriečkami päťuholníka $Q$.

Do školy chodí niekoľko chlapcov a dievčat. Existuje kladné celé číslo $k \geq 2$ také, že každý chlapec sa rozpráva s práve $k$ dievčatami a každé dievča sa rozpráva s práve $k$ chlapcami, pričom rozprávanie sa je vzájomné a chlapci ani dievčatá sa medzi sebou nerozprávajú. Keď sa žiak dozvie klebetu, povie ju všetkým žiakom, s ktorými sa rozpráva, a ak sú v škole všetci, dozvie sa každú klebetu každý. Dano, ktorý je jeden zo žiakov, dnes jediný neprišiel do školy. Ukážte, že aj tak sa klebeta od ľubovoľného žiaka v škole dostane ku každému inému žiakovi v škole.

Na kružnici $k$ ležia postupne body $A$, $X$, $B$, $C$ a $D$, pričom $|AX|=|BX|$. Nech $M$ je priesečník priamok $XC$ a $BD$ a nech $N$ je priesečník $XD$ a $AC$. Ďalej nech $K$ a $L$ sú body, v ktorých priamka $MN$ pretína kružnicu $k$. Dokážte, že $|KX|=|LX|$.

Majme kladné reálne čísla $x$, $y$, $z$, pre ktoré platí: $x+y+z \leq 4$ a $xy+yz+zx \geq 4$. Ukážte, že aspoň 2 z nerovností $|x-y|\leq 2$, $|y-z|\leq 2$, $|z-x|\leq 2$ platia.

Na úsečke $AC$ zvolíme ľubovoľne jej vnútorný bod $B$. Zostrojme postupne kružnice $k_1$, $k_2$, $k$ nad priemermi $AB$, $BC$, $AC$. Bodom $B$ veďme ľubovoľnú priamku $p$, ktorá pretína kružnicu $k$ v bodoch $P$, $Q$ a kružnice $k_1$, $k_2$ v bodoch $R$, $T$. Dokážte, že platí $|PR| = |QT|$.

Mihál má váhu, na ktorú dáva kladné celé čísla. Na začiatku má na každej strane nejaké kladné celé číslo. V každom kroku zvolí ďalšie kladné celé číslo, ktoré pripočíta k číslu na ľavej strane a ktorým vynásobí číslo na pravej strane. Mihál je šťastný, ak sú po nejakom počte krokov obe čísla rovnaké. Ukážte, že ak je na začiatku na pravej strane váhy číslo $a\geq 2$, tak vie Mihál dosiahnuť rovnosť čísel vykonaním nanajvýš $a-1$ krokov.

Nájdite najmenšie reálne číslo $p$, pre ktoré pre ľubovoľnú dvojicu kladných reálnych čísel $a, b$ platí $$a+b-p\sqrt{ab} \leq \sqrt{a^2+b^2}.$$

Na stole je $m$ modrých a $z$ zelených kamienkov ($m$ a $z$ sú kladné celé čísla). Timka a Žanetka hrajú hru a striedajú sa v ťahoch, pričom Timka začína. Hráčka vo svojom ťahu odoberie $k$ kamienkov jednej farby zo stola, pričom $k$ musí byť deliteľ počtu kamienkov danej farby, ktoré sú pred začatím tohto ťahu na stole. Tá, ktorá zoberie posledný kamienok, vyhráva. Zistite, ktorá z nich má víťaznú stratégiu a popíšte ju.

Nech $n$ je kladné celé číslo. Obyčajný štvorec rádu $n$ je štvorec, v ktorom je v každom z $n^2$ políčok napísané nejaké číslo od $1$ do $n$. Stromácky štvorec rádu $n$ je obyčajný štvorec, v ktorom je v každom stĺpci a každom riadku každé číslo od $1$ do $n$ práve raz. Dva štvorce $S_1$ a $S_2$ rádu $n$ sa kamarátia, ak platí, že pre každú dvojicu kladných celých čísel $(a,b)$, $a,b \in \{1, \dots , n\}$, nájdeme nejakú pozíciu $(i,j)$, $i,j \in \{1, \dots, n\}$, v štvorci rádu $n$ takú, že $S_1$ má na políčku na pozícii $(i,j)$ číslo $a$ a $S_2$ má na políčku $(i,j)$ číslo $b$. Ukážte, že pre dané kladné celé čísla $m$ a $n$ platí: $m$ stromáckych štvorcov rádu $n$ takých, že sa každá dvojica kamaráti, existuje práve vtedy, keď existuje $m+2$ obyčajných štvorcov rádu $n$ takých, že sa každá dvojica kamaráti.

Sú dané navzájom rôzne body $A$, $B$, $C$, $D$ také, že uhly $ACB$ a $ADB$ sú pravé. Označme $E$ priesečník priamok $AC$ a $BD$ a $F$ priesečník priamok $AD$ a $BC$. Dokážte, že kružnice opísané trojuholníkom $ACF$ a $ADE$ sa pretínajú na priamke $AB$.

Nájdite všetky dvojice reálnych funkcií $l$, $r$ spĺňajúcich, že pre všetky reálne čísla $x$, $y$ platí $$l(x-y) = l(x)r(y) + l(y)r(x).$$

1. Úlohu vyriešte za predpokladu, že $l(0)\not=0$.
2. Úlohu vyriešte za predpokladu, že $l(0)=0$.